1. Raskite visas \(a\) reikšmes, su kuriomis lygties \(x^2-2a(x-1)-1=0\) šaknų suma būtų lygi šaknų kvadratų sumai.
2. Kvadratinė lygtis \(ax^2+bx+c=0\) turi dvi šaknis. Sudarykite naują kvadratinę lygtį, kurios viena šaknis yra vienetu mažesnė už pradinės lygties didesniąją šaknį, o kita šaknis vienetu didesnė už pradinės lygties mažesniąją šaknį.
3. Nustatykite su kuriomis \(m\) reikšmėmis lygties \(x^3-(m^2-m+7)x-(3m^2-3m-6)=0\) viena šaknis lygi \(-1\). Raskite kitas dvi lygties šaknis, kai \(m\) įgyja šias reikšmes.
4. Lygties \(ax^2+bx+c=0\) koeficientus \(a, b\) ir \(c\) sieja sąlyga \(2b^2-9ac=0\). Įrodykite, kad lygties šaknų santykis lygus \(2\).
5. Jeigu \(a\) ir \(b\) yra lygties \(x^2+px+1=0\) šaknys, o \(b\) ir \(c\) – lygties \(x^2+qx+2=0\) šaknys, tai \((b-a)(b-c)=pq-6\). Įrodykite.
6. Su kuria teigiama \(p\) reikšme lygties \(2x^2-4(p+3)x+4=p^2\) šaknų ženklai yra priešingi? Raskite tas šaknis.
7. Lygties \(x^2+px+q=0\) šaknų skirtumas lygus \(5\), o jų kubų skirtumas lygus \(35\). Raskite lygties koeficientus.
8. Sudarykite kvadratinę lygtį, kurios šaknys \((a+b)^2\) ir \((a-b)^2\), kai \(a\) ir \(b\) – lygties \(x^2+px+q=0\) šaknys.
9. Lygties \(3x^2+7x+4=0\) šaknis pažymėkite raidėmis \(a\) ir \(b\). Nespręsdami šios lygties, sudarykite kvadratinę lygtį su skaitiniais koeficientais, kurios šaknys lygios \(\frac{a}{b-1}\) ir \(\frac{b}{a-1}\).
10. Su kuriomis \(a\) reikšmėmis lygtis \((a-5)x^2+(2a-10)x-a=0\) turi lygias šaknis?
11. Su kuriomis \(p\) reikšmėmis viena lygties \(x^2+px+147=0\) šaknis yra tris kartus didesnė už antrąją?
12. Su kuriomis \(m\) reikšmėmis lygtis \((m+4)x^2-(m+1)x+1=0\) turi dvi skirtingas neigiamas šaknis?