Liekanų panaudojimas skaitiniuose reiškiniuose
1. Ar yra teisingos šios lygybės?
a) \(4 \equiv 54 \pmod{10}\);
b) \({-7} \equiv 11 \pmod{6}\);
c) \({-4} \equiv 13 \pmod{9}\);
d) \(8^6 \equiv 1 \pmod{9}\);
e) \(11^2 \equiv 12^2 \pmod{23}\);
f) \(12^3 \equiv 14^3 \pmod{13}\).
2. Kurie iš duotųjų skaičių lygsta moduliu \(9\)?
\(3, 37, 103, 201, -5, -13\).
3. Kurie iš duotųjų skaičių lygsta moduliu \(10\)?
\(7, 13, 117, -33, 35, -38, 8\).
4. Nurodykite, kurie iš duotųjų skaičių lygsta skaičiui \(2\) moduliu \(7\):
\(-5, -2, 2, 5, 30, 100, -9\).
5. Kokia liekana gaunama skaičių \(A\), dalijant iš \( n\)?
a) \( {A }= 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot 24\), jei \(n = 11\);
b) \( {A} = 14^5 \cdot 15^4 \cdot 16^3\), jei \(n = 13\).
6. Apskaičiuoti duotuoju moduliu \(n\):
a)\( (1 + 22 + 333 + 4444 + 55555) \pmod{9}\);
b) \((1995 + 1996 + 1997) \pmod{11}\);
c) \((666 \cdot 777 + 888 \cdot 999) \pmod{9}\);
d) \((771 \cdot 772 + 773 \cdot 774) \pmod{7}\);
e) \((1000 \cdot 1001 + 1002 \cdot 1003) \pmod{12}\).
7. Apskaičiuokite duotus laipsnius moduliu \(n\).
a) \(3^{99} \pmod{10}\);
b) \( 3^{101} \pmod{8}\);
c) \(2^{200} \pmod{31}\);
d) \(19^{96} \pmod{11}\);
e) \(10^{100} \pmod{12}\);
f) \(8^{88} \pmod{9}\).
8. Apskaičiuoti duotus laipsnius moduliu \(n\):
a) \(2^{333} \pmod{10}\);
b) \(3^{1000} \pmod{16}\).
Liekanų panaudojimas algebriniuose reiškiniuose
1. Įrodykite, kad skaičius \(5^{2n+1} \cdot 2^{n+2} + 3^{n+2} \cdot 2^{2n+1}\) dalijasi iš \(19\) su visais natūraliaisiais skaičiais \(n\).
2. Įrodykite, kad skaičius \(3^{2n+3}+40n-27\) dalijasi iš \(64\) su visais natūraliaisiais skaičiais \(n\).
3. Įrodykite, kad skaičius \(4^{2n}-3^{2n}-7\) dalijasi iš \(84\) su visais natūraliaisiais skaičiais \(n\).
4. Įrodykite, kad skaičius \(246^{133^{77}}+77^{246^{133}}+133^{77^{246 }}\)dalijasi iš \(190\).
5. Įrodykite, kad skaičius \(122^{132}-1\) dalijasi iš \(451\).
6. Įrodykite, kad skaičius \(1^n+2^n+…+9^n-3(1^n+6^n+8^n)\) dalijasi iš \(18\) su visais natūraliaisiais skaičiais \(n\).
7. Ar \(19^{95}+95^{19}\) dalijasi iš \(3\)?
8. Koks yra skaičiaus \(33^{77}+77^{33}\) paskutinis skaitmuo?
9. Nustatykite skaičiaus \(2^{2000}\) du paskutinius skaitmenis.
10. Įrodykite, kad \(20^{15} – 1\) dalijasi iš \(19 \cdot 31\).