Įrodykite nelygybes remdamiesi atraminėmis nelygybėmis:
1. \( x + \frac{1}{x} \ge 2 \), \( x > 0 \).
2. \( 1 + x \ge 2 \sqrt{x} \), \( x \ge 0 \).
3. \( \frac{x^2 + y^2}{2} \ge x y \), \( x, y \in \mathbb{R} \).
4. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x + y} \), \( x, y > 0 \).
5. \( x^2 + y^2 + z^2 \ge x y + y z + x z \), \( x, y \in \mathbb{R} \).
6. \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{1}{\sqrt{xy}} + \frac{1}{\sqrt{yz}} + \frac{1}{\sqrt{zx}} \), \( x, y, z > 0 \).
7. \( \frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} + \frac{zx}{y} \ge x + y + z \), \( x, y, z > 0 \).
8. \( (x + y)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \ge 4 \), \( x, y > 0 \).
9. \( (x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \ge 9 \), \( x, y, z > 0 \).
10. Įrodykite, kad bet kuriems realiesiems \(x.y\) ir \(z\): \( (xy + yz +zx)^2 \ge 3xyz(x+y+z) \).
11. Parodykite, kad su visais neneigiamais \(a, b, c\), tenkinančiais sąlygą \(a+b+c=1\), teisingos nelygybės: \( \frac{9}{4} \le \frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} \le \frac{5}{2} \).
Remdamiesi pirmąja ir antrąja teoremomis, įrodykite tokias nelygybes:
12.Kai \( x_1 + x_2 + \ldots + x_n > 0 \), tai \(\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \le \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \le \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2}{n}} \).
Pastaba. Pastaroji gerai žinoma nelygybė gali būti užrašoma trumpiau. Būtent: \( H_n \le G_n \le A_n \le K_n \), čia \( H_n \) yra \(n\) teigiamų skaičių harmoninis vidurkis, \( G_n \) yra tų pačių skaičių geometrinis vidurkis, \( A_n \) – aritmetinis vidurkis, \( K_n \) – kvadratinis vidurkis.
13. Kai \( x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0 \), tai \( n(x_1, x_2, \ldots, x_n) \ge (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \ldots + \sqrt{x_n})^2 \).
14. Kai \( x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0 \), tai \(\frac{n^2}{ (x_1 + x_2 + \ldots + x_n)^2} \le \frac{1}{{x_1}^2} + \frac{1}{{x_2}^2} + \ldots + \frac{1}{{x_n}^2}\).
15. Kai \( x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0 \), tai \( (x_1, x_2, \ldots, x_n)(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}) \ge n^2 \).
16. Kai \( x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0 \), tai \( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \ge \frac{(\sqrt[3]{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[3]{x_n})^3}{n^2} \).
17. Kai \( x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0 \), tai \( (x_1 + x_2 + \ldots + x_n)^4 \le ({x_1}^4 + {x_2}^4 + \ldots + {x_n}^4)n^3 \).
18. Bet kuriems \( x_1, x_2, \ldots, x_n \ge 0 \) teisinga: \( x_1\sqrt{x_1} + x_2\sqrt{x_2} + \cdots + x_n\sqrt{x_n} \ge ( x_1, x_2, \ldots, x_n )\sqrt{\frac{x_1, x_2, \ldots, x_n}{n}} \).
19. Bet kuriems \( a,b \ge 0 \) teisinga: \( a\sqrt{a}+b\sqrt{b} \ge (a+b)\sqrt{\frac{a+b}{2}} \).
20. Kai \( \alpha_i \in [0; \frac{\pi}{2}], i = 1, 2, \ldots n \), tai \( \sin{\alpha_1} + \sin{\alpha_2} + \ldots + \sin{\alpha_n} \le n \sin(\frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n}{n}) \).
21. Bet kuriems \( \alpha_i \in [0; \frac{\pi}{2}], i = 1, 2, \ldots n \) teisinga: \( \sin{\alpha_1} \sin{\alpha_2} \ldots \le \sin{\alpha_n} \sin^n(\frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n}{n}) \).
Įrodykite nelygybes savarankiškai pasirinkdami įrodymo būdą.
22. Įrodykite nelygybę \(4a+5b+3c \ge 6 \sqrt{ab} +2 \sqrt{ac} +4 \sqrt{cb}\) jei \(a,b,c>0\).
23. Įrodykite, kad teisinga nelygybė \(a^{17}-a^{10}b{7}+b^{17}-b^{10}c^{7}+c^{17}-c^{10}a^{7} \le 1 \), kai \(a,b,c \in [0;1]\).
24. Įrodykite, kad \( \frac{(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1)}{abc} \ge 27\), kai \(a,b,c>0\).
25. Įrodykite nelygybę \(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2} \ge \frac{3}{2}\), jei \(a,b,c \in \mathbb{R}\) ir bent du iš jų trijų nelygūs nuliui.
26. Įrodykite, kad \((a_1+1)(a_2+1)…(a_n+1) \ge 2^n\), jei \(a_1,a_2,…,a_n >0\) ir \(a_1 \cdot a_2 \cdot … \cdot a_n = 1\).
27. Įrodykite, kad \(1 < \frac{a}{a+b} + \frac{b}{b+c} + \frac{c}{a+c} <2\), kai \(a,b,c>0\).
28. Įrodykite nelygybę \(1+2a^4 \ge a^2 +2a^3\).
29. Įrodykite, kad \(a^2+b^2+c^2 \ge \frac{1}{3}\), kai \(a+b+c=1\).
30. Teigiami skaičiai \(a,b,c\) ir \(d\) tenkina lygybę \((a^3+b^3)^4=c^3+d^3\).Įrodykite, kad teisinga nelygybė \(a^4c+b^4d \ge cd \).
31. Įrodykite, kad \(x^4+y^5+(x-y)^6 \le 2\), kai \(x,y \in [0;1]\).
32. Įrodykite nelygybę \(\frac{ab}{3a+b}+\frac{bc}{b+2c} + \frac{ac}{c+2a} \le \frac{2a+20b+27c}{49}\), kai \(a,b,c>0\).
33. Įrodykite nelygybę \((a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot … \cdot (a_n + b_n) \ge (\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot … \cdot a_n}+\sqrt[n]{b_1 \cdot b_2 \cdot … \cdot b_n})^n\), kai \(a_i>0, b_i>0~(i=1,2,…,n)\).
34. Įrodykite nelygybę \(\sqrt{(a_1+a_2+…+a_n)^2+(b_1+b_2+…+b_n)^2} \le \sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}+\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}+…+\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}\), kai \(a_i>0, b_i>0~(i=1,2,…,n)\).
35. Įrodykite nelygybę \(\prod_{i=1}^n {a_i}^{a_i} \ge \left(\sum_{i=1}{n}\frac{1}{n} a_i \right)^{\sum_{i=1}{n}a_i}, a_i>0, i=1,2,…,n\).
36. (2011 m. mokytojų olimpiada). Įrodykite, kad nelygybė \(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3} (a+b+c)\) teisinga su bet kuriais realiaisiais skaičiais \(a,b,c \ge 0\).
37. Įrodykite, kad teisinga nelygybė \(\sqrt{3(a+b+c)} \ge \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}\), kai \(a,b,c \ge 0\).
38. (Baltic Way 2011). Duoti neneigiami realieji skaičiai \(a,b,c\) ir \(d\), tenkinantys lygybę \(a+b+c+d=4\). Įrodykite nelygybę \(\frac{a}{a^3+8}+\frac{b}{b^3+8}+\frac{c}{c^3+8}+\frac{d}{d^3+8} \le \frac{4}{9} \).