Viena iš fizikinių banginės funkcijos, ψ , interpretacijų yra ta, jog jos kvadratas ψ2 nusako tikimybę rasti elektroną duotoje vietoje. Priešingai nei klasikinėje fizikoje, kur dalelės padėtis yra tiksliai žinoma, kvantinėje mechanikoje mes žinome tik apie tikimybę. Todėl iš tiesų ψ2 nusako tikimybės tankį. Ši interpretacija pateikia ribojimus tam, ką galime vadinti banginėmis funkcijomis:
- funkcija ψ privalo būti vienareikšmė – t.y. gali būti tik viena tikimybė rasti dalelę duotame erdvės taške;
- funkcijos kvadrato ψ2, taškų suma įvertinta per visa erdvę[1] turi būti baigtinė ir lygi 1 – tai akivaizdu, nes tai yra tikimybė, jogi elektronas yra bet kuriame erdvės taške.
Vienmatėje dimensijoje tai galima įsivaizduoti grafiškai kaip plotą po kreive. Kiekvienas nykstamai mažas taškas x ašyje atitinka tikimybės tankio funkcijos, ψ2, reikšmę tame taške. Padauginus tankio reikšmę iš erdvės dydžio (vienos dimensijos erdvėje tai būtų ilgis) gauname tikimybę rasti elektroną šioje nykstamai mažoje erdvėje. Susumavus visus taškus x ašyje (t.y. nuo -∞ iki +∞) gauname tikimybę rasti elektroną bet kur šioje ašyje. Akivaizdu, kad suma turi būti lygi 1.
Šie apribojimai yra iliustruojami žemiau pateiktame 3 paveiksle.
Pav. 3. Interpretacijos ribojimas banginėms funkcijos. Funkcija, kurios grafikas pateiktas (a), yra negalima, nes prieštarauja pirmajam teiginiui ir bent viename taške turi daugiau nei vieną reikšmę. Funkcija, kurios kvadratas pateiktas (b), riboja begalinį plotą, todėl negali reprezentuoti tikimybės ir yra netinkama. Funkcija, pavaizduota grafike (c) atitinka abu kriterijus ir gali būti banginė funkcija, tačiau plotas po kreive vis tiek turi būti perskaičiuotas ir prilygintas 1.
[1] Matematinis terminais tai būtų integralas, įvertintas per visą erdvę; x, y ir z koordinačių sistemoje tai būtų nuo -∞ iki +∞.