Kiekviena banginė funkcija turi sau būdingą energiją ir, pavyzdžiui, banginė funkcija, aprašanti 1s atomo orbitalę, turės skirtingą energiją nei to paties atomo banginė funkcija 2s orbitalei. Apskaičiuoti banginę funkciją ir su ja susijusią energiją galima sprendžiant garsiąją Šrėdingerio lygtį, kurios bendra forma yra:
Kairioji pusė žymi matematinį Hamiltoniano operatorių H, kuris tranformuoja banginę funkciją, ψ, į tą pačią funkciją , ψ, tik padaugintą iš konstantos E, atitinkančios funkcijos energiją.
Bendru atveju matematinis operatorius paverčia vieną funkciją kita, galimai nauja, funkcija, pvz. šaknies ar exponentės operatorius; juos įprasta išskirti pažymint „kepurėle“,t. y. „^“)
Išspręsti šią lygtį yra tolygu rasti funkcij, kuri tenkintų šią sąvybę duotam H operatoriui.
Hamiltoniano operatorius yra dar žinomas kaip energijos operatorius ir yra skirtingas priklausomai nuo fizikinės sistemos. Vienas paprasčiausių atvejų, į kurį trumpai pažvelgsime yra Hamiltoniano operatorius vandenilio atomui:
Raudonai nuspalvinta dalis operacijos metu apskaičiuoja banginę funkciją atitinkančią kinetinę energiją. Simbolis ∇2 yra Laplaso operatorius, kuris praktiškai nusako funkcijos kitimą erdvėje; ħ – redukuota Planko konstanta, me – elektrono masė. Mėlynoji dalis apskaičiuoja potencinę elektrono energiją pagal Kulono dėsnį,
čia r – atstumas nuo branduolio iki elektrono (=√(x2+y2+z2));
ε0 – elektrinė konstanta;
e – elementarusis krūvis.
Šrėdingerio lygtis sprendžiama matematiškai. Šios dalies tikslas buvo susipažinti su šia fundamentaliąja kvantinės mechanikos lygtimi ir atkreipti dėmesį į kelis esminius su ja susijusius dalykus. Toliau kalbant apie orbitales bus labiau koncentruojamasi į banginių funkcijų interpretacijas. Analizuojant rezultatus, kurie buvo gauti išsprendus šią lygtį, bandysime racionalizuoti jų reikšmę chemijoje (nesigilinant į matematinius veiksmus, būtinus juos gauti).
Šrėdingerio lygties sprendinys vandenilio atomui
Vandenilio atveju Šrėdingerio lygtis gali būti išspręsta gana nesunkiai. Iš tiesų, egzistuoja net ne vienas, bet be galo daug galimų sprendimų, kurie gali būti apibūdinti, kaip jau buvo anksčiau minėta, kvantiniais skaičiais n, l ir ml.
Sprendiniai gali būti užrašomi ψn,l,ml(x,y,z), o juos atitinkanti energija yra:
Ji gali būti užrašyta trumpiau:
, čia RH yra žinoma kaip Rydbergo konstanta.
Pirmas pastebėjimas – vandenilio atome energija priklauso tik nuo pagrindinio kvantinio skaičiaus, n. Tai reiškia, jog 2s ir 2p orbitalės turi vienodą energiją (išsigimusios, žr. anksčiau), 3s, 3p ir 3d orbitalės yra taip pat išsigimusios ir t. t. Tačiau jau žinome iš anksčiau, jog daugiaelektroniuose atomuose tai nėra tiesa ir, pavyzdžiui, 2s orbitalės yra žemesnės energijos nei 2p. (Daugiau apie tai vėliau).
Kitas svarbus pastebėjimas, jog apskaičiuotos energijos yra neigiamos, o didėjant n energija artėja prie nulio. Nulinė energija atitinka visiškai atsiskyrusio nuo branduolio elektrono energiją. Todėl energija reikalinga sužadinti elektroną iš žemiausios energetinės būsenos iki nulinės energijos yra atomo jonizacijos energija (teigiamas dydis).