1. Duota trupmena \(\frac{100!}{3^n}\). Kokia gali būti didžiausia n reikšmė, kad trupmena būtų suprastinama?
2. Žinome, kad \(a!\) dalijasi iš \(10^{12}\). Kokia galima mažiausia a reikšmė?
3. Su kuriomis natūraliosiomis n reikšmėmis reiškinys \(\frac{n^2+n+12}{n+1}\) lygus sveikajam skaičiui?
4. Įrodykite, kad su visomis sveikosiomis n reikšmėmis, trupmena \(\frac{2n+1}{3n+1}\) yra nesuprastinama.
5. Raskite dviženklius skaičius, kurie dalijasi iš savo skaitmenų sandaugos.
6. Patikrinkite, ar skaičius, sudarytas iš 81 vieneto dalijasi iš 81.
7. Įrodykite, kad iš 12 paeiliui paimtų skaičių bent vienas yra mažesnis už savo daliklių sumą (imami dalikliai, mažesni už patį skaičių).
8. Skaičius 2002 ir 75 dalijant iš to paties skaičiaus, gaunamos lygios liekanos. Iš kokio skaičiaus galėjo būti dalyta?
9. Ar visada trijų iš eilės einančių natūraliųjų skaičių kubų suma dalijasi iš 9?
10. Iš dviženklio skaičiaus atėmę dviženklį, parašytą tais pačiais skaitmenimis, bet atvirkščia tvarka, gavome natūraliojo skaičiaus kvadratą. Raskite visus tokius skaičius, kuriems galioja ši savybė.
11. Kiek natūraliųjų sprendinių turi lygtis \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\)?
12. Ar egzistuoja tokie sveikieji skaičiai x ir y, kurie tenkintų lygtį \(x^2-y^2=20..02\)?
13. Pirmųjų n natūraliųjų skaičių suma yra triženklis skaičius, kurio visi skaitmenys vienodi. Raskite n.
14. Raskite dviženklį skaičių, kuris lygus savo pirmojo skaitmens ir antrojo skaitmens kvadrato sumai.
15. Išspręskite lygtį \(\overline {xyz}=\frac{3}{2}x!y!z!\).